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Publié en trois volumes, Précis de mathématiques approfondies et fondamentales présente les éléments mathématiques qui « fondent » un certain nombre de méthodes des sciences contemporaines : théorie moderne des systèmes, physique, sciences de l’ingénieur.
Ce troisième volume traite les problèmes non linéaires : il détaille le calcul différentiel, dans le cadre des espaces de Banach puis des variétés banachiques. Une fois introduits les concepts de base de la géométrie différentielle, une place importante est laissée au calcul différentiel et intégral sur les variétés.
Sont également étudiés les groupes et algèbres de Lie, puis l’analyse harmonique sur les groupes de Lie, de manière à englober dans un même formalisme la transformation de Fourier et les séries de Fourier, et à donner un aperçu de l’analyse harmonique non commutative. La théorie des connexions permet de définir les notions de torsion et de courbure, et d’aborder la géométrie (pseudo-)riemannienne de la relativité générale.
1. Calcul différentiel
2. Variétés différentielles et analytiques
3. Espaces fibrés
4. Calcul tensoriel sur les variétés
5. Calcul différentiel et intégral sur les variétés
6. Analyse sur les groupes de Lie
7. Connexions
