Modélisation numérique en mécanique fortement non linéaire

En partant des outils de l'analyse convexe, ce chapitre présente une description détaillée de la construction des stratégies de lagrangien, lagrangien augmenté et de Nitsche pour l'approximation des conditions de contact avec frottement de solides déformables en petite et grandes déformations. Cela permet d'éclairer le lien étroit qui existe entre ces stratégies et de décrire quelques développements récents.

Cet article synthétise quelques travaux menés au LMGC, depuis une vingtaine d'années, sur le calcul intensif dédié aux problèmes de mécanique impliquant un grand nombre de contacts. Les situations considérées vont de l'équilibre de systèmes de corps déformables, modélisés en éléments finis, à la dynamique de solides rigides constituant un milieu granulaire.

Les méthodes numériques pour traiter des problèmes du contact à petites échelles ainsi que des modèles associés sont discutés. Une revue d’applications de la méthode des éléments finis et celle des éléments de frontière aux problèmes du contact rugueux est faite. Les deux applications pertinentes sont présentées en détail : le contact des aspérités et le contact des surfaces rugueuses.

Ce chapitre présente les principaux modèles permettant de décrire la rupture ductile des métaux. Il présente les principaux problèmes de mise en œuvre de ces modèles dans les codes de calcul par éléments finis. L’origine de ces problèmes est liée au caractère fortement adoucissant des modèles employés. Certaines des méthodes de régularisation permettant de les résoudre sont présentées.

La mécanique de l’endommagement permet de décrire la fissuration de structures quasi-fragiles, à condition d’opter pour une formulation non locale ; plusieurs variantes sont examinées en termes de forces et limitations. On aborde ensuite l’impact numérique de certaines caractéristiques phénoménologiques : anisotropie, unilatéralité, transition endommagement / rupture. Enfin, des techniques de résolution numérique sont présentées, en insistant sur les écueils éventuels.

La méthode des éléments finis étendus (XFEM) permet de gérer la propagation de fissures sans remaillage par l'insertion de sauts de déplacement. Le chemin de la fissure peut être calculé soit par une approche énergétique (facteurs d'intensité de contrainte) soit via la méthode des level sets épaisses qui a l'avantage de gérer la naissance de fissure ainsi que des chemins complexes de fissuration.

Ce chapitre présente des outils numériques pour l’insertion d’une fissure discrète à partir d’un modèle d’endommagement continu. Ils permettent de déterminer où placer la discontinuité, quand l’insérer et enfin quelles sont les mesures à prendre pour pouvoir reprendre le calcul après insertion. L’auteur met en évidence l’intérêt de ces outils, leurs points communs et différences afin de guider le choix du lecteur.