Mathématiques du numérique 1

La logique est essentielle non seulement pour le fonctionnement des ordinateurs, mais aussi pour l’intelligence artificielle. Les notions de logique, exposées dans ce chapitre, revêtent donc une importance fondamentale. Il débutera par le raisonnement par syllogisme, puis seront traités le calcul propositionnel, ses opérations de base et leurs combinaisons. La dernière partie est dédiée aux outils du raisonnement déductif.

Les bases de la théorie des ensembles sont supposées connues du lecteur. Toutefois, quelques rappels sont proposés, notamment pour préciser le vocabulaire. Ce chapitre aborde ensuite les relations binaires, qui jouent un rôle majeur dans l’univers des 0 et des 1.

L’analyse combinatoire traite de la capacité à identifier et compter les appariements d’objets. Sont donc examinés successivement le dénombrement des permutations, arrangements et combinaisons. Une attention particulière est portée aux coefficients binomiaux et à la formule de Stirling.

Ce chapitre rappelle les fondements mathématiques des fonctions booléennes. Sont étudiés les ensembles ordonnés, les treillis et les algèbres de Boole, puis les fonctions booléennes elles-mêmes.

Ce chapitre approfondit l’étude des fonctions booléennes et leur simplification (notamment via les tableaux de Karnaugh). Il introduit les circuits logiques, leur représentation électronique, et l'exemple de l’additionneur binaire.

Ce chapitre expose les bases de l’arithmétique sur les nombres entiers : division euclidienne, nombres premiers, congruences (modulo) et leur application aux courbes elliptiques. Il se termine par l'identité, le théorème et l'algorithme de Bézout.

Les mécanismes de détection et de correction automatique d’erreurs sont présentés. Le chapitre détaille les codes linéaires, puis les codes polynomiaux à travers une section spécifique.

Après un rappel des méthodes classiques (substitution, transposition), ce chapitre détaille le chiffrement DES à clé secrète, le RSA à clé publique, et introduit la cryptographie sur courbes elliptiques ainsi que l’encryptage quantique.

Le chapitre présente les fondements des probabilités, pratiques et théoriques, à partir du dénombrement et des statistiques. Une application particulière est faite aux chaînes de Markov.

Introduction aux notions fondamentales de la statistique descriptive : tableaux, graphiques, paramètres de position et de dispersion, ajustement linéaire et corrélation, avec application aux séries chronologiques.

Ce chapitre présente les lois usuelles de probabilité (uniforme, binomiale, Poisson, exponentielle, normale) et leur utilisation pour simuler des phénomènes réels (ex. : files d’attente).